Soal Penyelesaian Hasilkali Dalam (Inner Product)

Definisi hasilkali dalam:
Untuk $x,y\in <!--\; \in \; -->S$, hasilkali dalam (inner product) $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$ adalah suatu fungsi $⟨<!--\; ⟨\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->:S\times <!--\; \times \; -->S⟶<!--\; ⟶\; -->\mathbb{C}$ (atau $\mathbb{R}$ jika $S$ adalah ruang vektor real) dengan sifat-sifat:
1. $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{⟨<!--\; ⟨\; -->y,x⟩<!--\; ⟩\; -->}$,
2. $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x,y⟩<!--\; ⟩\; -->=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$
3. $⟨<!--\; ⟨\; -->x+y,z⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->x,z⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->y,z⟩<!--\; ⟩\; -->$
4. $⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->>0$ jika $x\ne <!--\; \ne \; -->0$ dan $⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->=0⟺<!--\; ⟺\; -->x=0$.

Soal- Peyelesaian

1. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->x,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}y⟩<!--\; ⟩\; -->=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$. 
   
>>> Penyelesaian

2. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y+z⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->x,z⟩<!--\; ⟩\; -->$. 

>>> Penyelesaian

3. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->y,x⟩<!--\; ⟩\; -->=2\text{ Re }⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$. 

>>> Penyelesaian


4. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->y,x⟩<!--\; ⟩\; -->=2i\text{ Im }⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$.${\displaystyle }$ 

>>> Penyelesaian

5. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}y⟩<!--\; ⟩\; -->=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$.

>>> Penyelesaian
 
6. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}y⟩<!--\; ⟩\; -->=|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{|}^2⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$. 

>>> Penyelesaian
 
7. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->-<!--\; -\; -->x,-<!--\; -\; -->y⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$.${\displaystyle }$ 

>>> Penyelesaian

8. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->x,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}⟩<!--\; ⟩\; -->=0$.

${\displaystyle }$>>> Penyelesaian

9. Tunjukkan bahwa $⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0},y⟩<!--\; ⟩\; -->=0$.
${\displaystyle }$
>>> Penyelesaian

10. Tunjukkan bahwa $⟨x,y⟩$adalah selalu bilangan real.${\displaystyle }$

${\displaystyle }$>>> Penyelesaian